Erdumlaufbahn, Keplersche Gesetze, Exzentrizität

Die Umlaufbahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse. Aber diese Ellipse weicht nur wenig von einer Kreisbahn ab, da die kleine Halbachse nur um rund 40.000 km kleiner ist als die große Hauptachse, die eine mittlere Länge von rund 150.000.000 km besitzt.In der Abbildung sind die größte und kleinste Entfernung der Erde vom Sonnenmittelpunkt schematisch dargestellt.

Die kleinste Entfernung wird als Perihel und die größte als Aphel bezeichnet.
Der größte Abstand beträgt 152,1 Mio. und der kleinste 147,1 Mio. Kilometer.

Das Verhältnis des größten zum kleinsten Abstand ist damit aufgerundet: 1,034 zu 1.

Die Jahreszeiten hängen nicht von der Entfernung der Erde von der Sonne ab, deren Unterschied ist, wie erwähnt, viel zu gering im Verhältnis zum mittleren Abstand und hat damit praktisch keinen Einfluss auf die Jahreszeiten.

Vielmehr ist die Neigung der Erdachse gegenüber der Ekliptik - der Ebene der Erdbahn um die Sonne - von rund 23,5° der Grund dafür.

Es sei darauf hingewiesen, dass der astronomische Winter um den 21. Dezember und der Sommer um den 21. Juni beginnt. Aber den größten Abstand von der Sonne (Aphel) hat die Erde zwischen dem 3. bis 6. Juli und den geringsten (Perihel) zwischen dem 2. bis 4. Januar. In der Abbildung (nicht maßstabsgerecht) sind die Unterschiede erkennbar. Diese Abweichungen hängen damit zusammen, dass die Sonne in einem Brennpunkt der Bahnellipse und nicht in deren Mittelpunkt liegt, wodurch es zu einer gewissen Asymmetrie kommt.

Die folgenden grundlegenden Gesetze zur Erklärung der Planetenbahnen wurden von Friedrich Johannes Kepler (1571-1630) entdeckt und ihm zu Ehren später nach ihm benannt.
Insgesamt wurden drei "Keplersche Gesetze formuliert.

Das damalige Denken war trotz Tycho Brahe (1546-1601), Giordano Bruno (1548-1600) - der am 17. Februar 1600 in Rom verbrannt wurde - Galileo Galilei (1564-1642) und Nikolaus Kopernikus (1473-1543) noch tief von den Lehren von Aristoteles und Ptolemäus geprägt, die davon ausgingen, dass die Erde das Zentrum der Welt sei und sich die Sonne und Planeten um die Erde drehen würden. Zudem glaubte man im christlichen Abendland, dass die Planeten einschließlich Sonne durch körperlose "Wesen" in Bewegung gehalten würden.

Kepler stieß daher mit seinen Vorstellungen bei den kirchlichen Autoritäten und besonders bei der Inquisition auf erbitterten Widerstand. Kepler selber hatte seine Beobachtungen selber nicht als "Gesetze“ bezeichnet, da die darin erklärten Planetenbewegungen für ihn ein Ausdruck der Weltharmonie waren, die Gottes Allmacht und die Schönheit widerspiegelten. Seiner Auffassung nach war der von Gott geschaffene menschliche Geist nur dazu da, Gott, seine Werke und die darin erkennbare Harmonie zu erkennen und zu lobpreisen.
Es sei erwähnt, dass Keplers Mutter 1615 der Hexerei beschuldigt wurde, und es ihm nur unter größten Anstrengungen gelang, sie 1620 vor dem Scheiterhaufen zu bewahren und ihre Freilassung zu erwirken. Aber bereits ein Jahr später starb sie an den Folgen der erlittenen Folter.

Die drei "Gesetze" verfasste er zwischen 1618 und 1621 in dem ersten Lehrbuch des heliozentrischen Weltbildes der "Epitome Astronomiae Copernicae" (Abriss der kopernikanischen Astronomie). Es sei erwähnt, dass er mit Hilfe seiner Erkenntnisse den Venustransit durch die Sonnenscheibe für das Jahr 1631 korrekt vorhergesagt hatte, was vorher noch niemandem gelungen war.
Da er aber bereits 1630 verstorben war, konnte er den Erfolg seiner Berechnungen nicht mehr selber erleben.

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Die Sonne befindet sich in einem der beiden Brennpunkte. So einfach das klingt, so wenig simpel ist das Ganze.

Zieht man von einem Planeten zur Sonne eine gerade Linie, so überstreicht diese Linie in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
In dieser Aussage steckt das physikalische Gesetz von der Erhaltung des Drehimpulses.
Daraus folgt, dass sich die Umlaufgeschwindigkeit der Erde - und der anderen Planeten - um die Sonne ständig ändert. Je näher die Erde der Sonne beispielsweise kommt (Perihel), umso größer wird ihre Bahngeschwindigkeit.

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen von deren großen Bahnhalbachsen:

t₁² : t₂ ² =a₁³ : a₂ ³

Die Länge der Halbachse a ist die Entfernung von der Mitte der Ellipse bis zu dem jeweiligen Planeten. Als Mittelwert verwendete Kepler die mittlere Entfernung des Planeten von der Sonne, also den Mittewert von Perihel und Aphel.

Rechenbeipiel
Gesucht sei die mittlere Entfernung des Mars von der Sonne, die mit a₁ bezeichnet werden soll. Als bekannt vorausgesetzt werden die Umlaufzeit t₂ der Erde sowie die mittlere Entfernung der Erde a₂ von der Sonne und die Umlaufzeit t₁ des Mars um die Sonne.

Gerundet:

t₁ = 687 d
t₂ = 365 d
a₂ = 150.000.000 km

Mit Hilfe der obigen Gleichung (3. Keplersches Gesetz) und den dargestellten Werten ergibt sich:

a₁³ = 150.000.000³ · (687² : 365² )
Für a₁³ ergibt sich ein Wert von 1,1956 · 10²⁵. Um a₁ zu erhalten, muss daraus noch die dritte Wurzel gezogen werden. Dann ergibt sich für die mittlere Entfernung a₁des Mars von der Sonne:

a₁ = 228,7 Mio. km

Die lineare Exzentrizität (Abk: e) einer Ellipse ist der jeweilige Abstand der Brennpunkte von der Ellipsenmitte. Dividiert man diesen Wert durch die Länge der großen Halbachse (Abk: a) so ergibt sich die dimensionslose numerische Exzentrizität. Für die lineare Exzentrizität folgt mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (a² = b² + e²) aus der Abbildung:

e² = (a² - b²)
e = √ (a² - b²)

mit:
e = lineare Exzentrizität
a = große Halbachse einer Ellipse
b = kleine Halbachse einer Ellipse

Die numerische Exzentrizität ergibt sich dann zu:

ε = e : a

Unter der Exzentrizität einer ellipsenförmigen Planetenbahn versteht man damit die Abweichung von einer exakten Kreisbahn, die eine Exzentrizität von 0 hätte. Das ist aus der Gleichung sofort abzulesen, da beim Kreis a = b ist und damit e = 0 wird.
Eine Ellipse mit einer Exzentrizität nahe 1 ist dagegen sehr langgezogen - im Extremfall mit e = 1 wäre es eine Gerade.
Zum Nachrechnen seien exemplarisch die große und kleine Hablachse für den Merkur dargestellt:
Große Halbachse: 57.909.176 km
Kleine Halbachse: 56.670.000 km